Question

15．已知數(shù)列：$\frac{1}{1}$，$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{1}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，依它的前10項的規(guī)律，這個數(shù)列的第2016項
a₂₀₁₆=（　�。�

• A． $\frac{1}{63}$
• B． $\frac{1}{31}$
• C． $\frac{3}{61}$
• D． $\frac{1}{15}$

Answer 1

分析 觀察數(shù)列的特征，得出它的項數(shù)是1+2+3+…+k=$\frac{k（k+1）}{2}$（k∈N^*），在每一個k段內(nèi)是k個分?jǐn)?shù)（k∈N^*，k≥3），且它們的分子分母和為k+1；進(jìn)而求出第2016項即可．

解答 解：觀察數(shù)列：$\frac{1}{1}$，$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{1}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，得出：
它的項數(shù)是1+2+3+…+k=$\frac{k（k+1）}{2}$（k∈N^*），
并且在每一個k段內(nèi)，是$\frac{k}{1}$，$\frac{k-1}{2}$，$\frac{k-2}{3}$，…，$\frac{2}{k-2}$，$\frac{1}{k-1}$，$\frac{1}{k}$（k∈N^*，k≥3）；
令$\frac{k（k+1）}{2}$≥2016（k∈N^*），
得$\frac{63×64}{2}$=2016；
又第n組是由分子、分母之和為n+1知：
2016項位于倒數(shù)第1個數(shù)，
∴該數(shù)列的第2016項為a₂₀₁₆=$\frac{1}{63}$．
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)列的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)數(shù)列的特征，總結(jié)出規(guī)律，才能得出正確的結(jié)論．