【題目】已知函數(shù)f(x)=aex﹣2x+1.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若f(x)>0對(duì)x∈R成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍
【答案】(1)極小值為3﹣2ln2,無(wú)極大值;(2).
【解析】
(1)求導(dǎo),判斷函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求得極值;
(2)分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求解函數(shù)的最值,即可求得參數(shù)的范圍.
(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex﹣2x+1,則f′(x)=ex﹣2,
令f′(x)<0,解得x<ln2;令f′(x)>0,解得x>ln2;
故函數(shù)f(x)在(﹣∞,ln2)上遞減,在(ln2,+∞)上遞增,
故函數(shù)f(x)的極小值為f(ln2)=2﹣2ln2+1=3﹣2ln2,無(wú)極大值;
(2)f(x)>0對(duì)x∈R成立,即為對(duì)任意x∈R都成立,
設(shè),則a>g(x)max
,
令g′(x)>0,解得;令g′(x)<0,解得;
故函數(shù)g(x)在遞增,在遞減,
∴,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的直角坐標(biāo)方程為.
(1)求與的極坐標(biāo)方程;
(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為,離心率為,且.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,若,試判斷是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.在單位圓上有兩個(gè)定點(diǎn)、,,是上一動(dòng)點(diǎn),在直線上存在一點(diǎn),滿足(為邊的中點(diǎn)).試求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】邊長(zhǎng)為的菱形,其頂角為.用 分別平行的三組等距平行線,將菱形劃分成個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形.試求以圖中的線段為邊的梯形個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】每年3月21日是世界睡眠日,良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ).為了做好今年的世界睡眠日宣傳工作,某社區(qū)從本轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的人員中抽取了100人,通過(guò)問(wèn)詢的方式得到他們?cè)谝恢軆?nèi)的睡眠時(shí)間(單位:小時(shí)),并繪制出如右的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求這100人睡眠時(shí)間的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,結(jié)果精確到個(gè)位);
(Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為,人的睡眠時(shí)間近似服從正態(tài)分布,其中近似地等于樣本平均數(shù),近似地等于樣本方差,.假設(shè)該轄區(qū)內(nèi)這一年齡層次共有10000人,試估計(jì)該人群中一周睡眠時(shí)間位于區(qū)間(39.2,50.8)的人數(shù).
附:.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,,試求函數(shù)極小值的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形中,,,點(diǎn)在線段上,且,現(xiàn)將沿折到的位置,連結(jié),,如圖2.
(1)若點(diǎn)在線段上,且,證明:;
(2)記平面與平面的交線為.若二面角為,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.
(1)證明:平面平面;
(2)過(guò)的平面交于點(diǎn),若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.
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