Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，離心率為，且．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知為坐標原點，過點的直線與橢圓交于，兩點，點在橢圓上，若，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先利用離心率得出再根據得出，由，向量數量積坐標化即可；

（2）直線斜率不存在和斜率為0時得出定值，斜率存在時設出直線方程，代入橢圓方程，利用弦長公式求出再利用垂直得出點P坐標，以此求出的數值.最后求得和為定值.

（Ⅱ）設，，

因為橢圓的離心率為，所以，即，因為，所以．

因為，所以，，

又，所以，即，解得（負值舍去），

所以，，故橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，，，

此時；

當直線的斜率為時，，，此時；

當直線的斜率存在且不為時，

設直線的方程為，，．

將代入，消去可得，

則，，

所以，

因為，所以直線的方程為，

設，因為點在橢圓上，所以由可得，

所以，

所以．

綜上，為定值，該定值為．