Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的圓心在直線y=-4x，且圓C與直線l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2）
（1）求圓C的方程；
（2）若動點(diǎn)M在圓D：（x+$\frac{a}{3}$）²+y²=$\frac{4{a}^{2}}{9}$（a≠0）上運(yùn)動，當(dāng)圓C與圓D沒有公共點(diǎn)時，判斷是否存在實(shí)數(shù)a，使得|CM|的取值范圍是[1，9]，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓的切線性質(zhì)可知，過點(diǎn)P且與l垂直的直線過圓心，結(jié)合圓心在y=-4x上，聯(lián)立可解出圓心坐標(biāo)，然后半徑可求，問題獲解；
（2）由題意根據(jù)兩圓沒有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩圓圓心距與它們的半徑和與差的關(guān)系，=同時，|CM|的范圍問題即為C到圓D上點(diǎn)的距離的最大值及最小值問題．

解答 解：（1）過點(diǎn)（3，-2）與直線l垂直的直線m斜率為k=1，
所以直線m的方程為y+2=x-3，即x-y-5=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-5=0}\\{y=-4x}\end{array}\right.$解得C（1，-4）．
所以$r=\sqrt{（3-1）^{2}+（-2+4）^{2}}=2\sqrt{2}$．
故圓C的方程為：（x-1）²+（y+4）²=8．
（2）由圓D：（x+$\frac{a}{3}$）²+y²=$\frac{4{a}^{2}}{9}$（a≠0）得：D（$-\frac{a}{3}，0$），半徑R=$\frac{2}{3}|a|$．
因?yàn)閳AD的圓心在x軸上，所以兩圓沒有公共點(diǎn)時，則要么兩圓相離或者圓C內(nèi)含于圓D．
所以|CM|_min≥r=2$\sqrt{2}$＞1．
故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得|CM|∈[1，9]．

點(diǎn)評 本題圓的切線的性質(zhì)，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．