Question

11．已知：過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）且離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左，右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B，若有一點(diǎn)P在橢圓上，且異于點(diǎn)A，B，直線AP，BP與其右準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)H為AP的中點(diǎn)，
求：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與直線OH的斜率之積是否為定值，若是定值求出該定值，若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析 由已知求出橢圓方程，得到A的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出H坐標(biāo)，然后寫出兩直線斜率的乘積，結(jié)合P在橢圓上可得直線AP與直線OH的斜率之積是定值．

解答 解：由點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 上，且離心率為$\frac{1}{2}$，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=4，b²=3．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
則A（-2，0），
設(shè)P（x₀，y₀），則AP中點(diǎn)為H（$\frac{{x}_{0}-2}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}$），
∴${k}_{AP}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}，{k}_{OH}=\frac{\frac{{y}_{0}}{2}}{\frac{{x}_{0}-2}{2}}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
則${k}_{AP}•{k}_{OH}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$．
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，${{x}_{0}}^{2}=4-\frac{4}{3}{{y}_{0}}^{2}$．
∴${k}_{AP}•{k}_{OH}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4-\frac{4}{3}{{y}_{0}}^{2}-4}=-\frac{3}{4}$．
即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與直線OH的斜率之積是定值$-\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線的斜率，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．