Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+2a-3）e^2-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線平行于x軸，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=2，g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x+m，且f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到；
（Ⅱ）令導(dǎo)數(shù)等于0，比較-1與3-a的大小關(guān)系，分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅲ）分別利用導(dǎo)數(shù)求出f（x），g（x）極值，再根據(jù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞g（-1）}\\{f（1）＞g（1）}\end{array}\right.$，從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+ax+2a-3）e^2-x，
∴f′（x）=[-x2+（2-a）x+3-a]e^2-x=（-x-1）（x+a-3）e^2-x，
∵曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線平行于x軸，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為k=f′（2）=（-2-1）（2+a-3）e^2-2=0，
∴a=1，
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3-a，
①若a＜4，當(dāng)x＜-1，或x＞3-a時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)-1＜x＜3-a時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1]，[3-a，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，3-a]，
②若a=4，f′（x）=-（x+1）e^2-x≤0，且僅當(dāng)x=-1時(shí)，f′（-1）=0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞），
③若a＞4時(shí)，當(dāng)x＜3-a，或x＞-1時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)3-a＜x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，3-a]，[-1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為[3-a，-1]，
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=（x²+2x+1）e^2-x，
由（Ⅱ）可知，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，1]，
∴f（x）在x=-1處取得極小值f（-1）=0，在x=1處取得極大值f（1）=4e，
∵g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x+m，
∴g′（x）=x²-1．
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）在x=0處取得極大值g（-1）=m+$\frac{2}{3}$，在x=1處取得極小值g（1）=m-$\frac{2}{3}$．
∵函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜g（-1）}\\{f（1）＞g（1）}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{2}{3}$＜m＜4e+$\frac{2}{3}$，

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值，考慮極值的正負(fù)來判斷函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題