Question

4．某校的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組，在對(duì)該校學(xué)生的良好“用眼習(xí)慣”的調(diào)查中，隨機(jī)發(fā)放了120分問(wèn)卷．對(duì)收回的100份有效問(wèn)卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如2×2下列聯(lián)表：

	做不到科學(xué)用眼	能做到科學(xué)用眼	合計(jì)
男	45	10	55
女	30	15	45
合計(jì)	75	25	100

（1）現(xiàn)按女生是否能做到科學(xué)用眼進(jìn)行分層，從45份女生問(wèn)卷中抽取了6份問(wèn)卷，從這6份問(wèn)卷中再隨機(jī)抽取3份，并記其中能做到科學(xué)用眼的問(wèn)卷的份數(shù)X，試求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P的前提下認(rèn)為良好“用眼習(xí)慣”與性別有關(guān)，那么根據(jù)臨界值表，最精確的P的值應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
附：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	1.323	2.072	2.706	3.840	5.024

Answer 1

分析 （1）分層從45份女生問(wèn)卷中抽取了6份問(wèn)卷，其中“科學(xué)用眼”抽6×$\frac{15}{45}$=2人，“不科學(xué)用眼”抽$6×\frac{30}{45}$=4人，若從這6份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取3份，隨機(jī)變量X=0，1，2．利用“超幾何分布”即可得出分布列及其數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想的應(yīng)用”計(jì)算公式可得K²的觀測(cè)值k，即可得出．

解答 解：（1）“科學(xué)用眼”抽6×$\frac{15}{45}$=2人，“不科學(xué)用眼”抽$6×\frac{30}{45}$=4人．…（2分）
則隨機(jī)變量X=0，1，2，…（3分）
∴$P（X=0）=\frac{C_4^3}{C_6^3}=\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$；$P（X=1）=\frac{C_2^1C_4^2}{C_6^3}=\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$；$P（X=2）=\frac{C_2^2C_4^1}{C_6^3}=\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$…（6分）
分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

…（7分）
E（X）=0×$\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1． …（8分）
（2）K²=$\frac{100（45×15-30×10）^{2}}{75×25×55×45}$≈3，.030 …（10分）
由表可知2.706＜3.030＜3.840；
∴P=0.10． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了組合數(shù)的計(jì)算公式、古典概率計(jì)算公式、“超幾何分布”分布列及其數(shù)學(xué)期望公式、“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想的應(yīng)用”計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．