Question

14．已知拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的準線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1兩條漸近線分別交于A，B兩點，且|AB|=2，則雙曲線的離心率e為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知條件，分別求出拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線，由|AB|=2，求出b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：y²=4$\sqrt{3}$x的準線方程為l：x=-$\sqrt{3}$，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線分別為：y=±$\frac{a}$x，
∵拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的準線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1兩條漸近線分別交于A，B兩點，且|AB|=2，
∴$\frac{2\sqrt{3}b}{a}$=2
即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握拋物線、雙曲線的簡單性質．