Question

2．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos2x．
（1）若tanθ=2，求f（θ）的值；
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由函數(shù)y=f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度而得到，且g（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x，由tanθ=2，可得sin2θ和cos2θ的值，代入f（θ）=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}$cos2θ計(jì)算可得；
（2）由函數(shù)圖象變換可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，結(jié)合三角函數(shù)圖象特點(diǎn)可得實(shí)數(shù)m的最大值為$\frac{3π}{8}$．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵tanθ=2，∴sin2θ=2sinθcosθ
=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{4}{5}$，
同理可得cos2θ=cos²θ-sin²θ
=$\frac{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$-\frac{3}{5}$
∴f（θ）=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}$cos2θ
=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}×（-\frac{3}{5}）$=$\frac{1}{10}$
（2）∵函數(shù)y=g（x）的圖象是由函數(shù)y=f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度而得到，
∴g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，
∵g（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
∴實(shí)數(shù)m的最大值為$\frac{3π}{8}$

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及二倍角公式和三角函數(shù)圖象變換，屬中檔題．