Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x|（x-a），a∈R．
（1）討論f（x）在R上的奇偶性；
（2當(dāng)a≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）對a分a=0與a≠0兩類討論，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；
（2）討論a的取值范圍，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x|x，f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
此時(shí)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）若a=0，則f（x）=|x|x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
則函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，
則在閉區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上的最大值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$．
若a＜0，則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（x-a）為增函數(shù)，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=-x（x-a）=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
此時(shí)對稱軸為x=$\frac{a}{2}$．
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2a}{4}$，
①若$\frac{a}{2}$≤-1，即a≤-2，
此時(shí)函數(shù)在[-1，0]上遞減，
f（-1）=-1-a，
f（$\frac{1}{2}$）-f（-1）=$\frac{1-2a}{4}$+1+a=$\frac{2a+5}{2}$，
若f（$\frac{1}{2}$）-f（-1）≥0，解得a≥-$\frac{5}{2}$，此時(shí)f（$\frac{1}{2}$）≥f（1），
即當(dāng)-$\frac{5}{2}$≤a≤-2時(shí)，函數(shù)在閉區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上的最大值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2a}{4}$．
若f（$\frac{1}{2}$）-f（-1）＜0，解得a＜-$\frac{5}{2}$，此時(shí)f（$\frac{1}{2}$）＜f（-1），
即當(dāng)a＜-$\frac{5}{2}$時(shí)，函數(shù)在閉區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上的最大值為f（-1）=-1-a．
②若-1＜$\frac{a}{2}$＜0，即-2＜a＜0，
f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2a}{4}$．
則f（$\frac{a}{2}$）-f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{1-2a}{4}$=$\frac{{a}^{2}+2a-1}{4}$．
若f（$\frac{a}{2}$）-f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{a}^{2}+2a-1}{4}$≥0，解得a≤-1-$\sqrt{2}$，即此時(shí)不等式無解，
若f（$\frac{a}{2}$）-f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{a}^{2}+2a-1}{4}$＜0，解得-1-$\sqrt{2}$＜a＜0，即-2＜a＜0，此時(shí)f（$\frac{a}{2}$）＜f（$\frac{1}{2}$），
即當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，函數(shù)在閉區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上的最大值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2a}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查二次函數(shù)及其最值，考查作圖能力，分析問題，解決問題的能力，考查分類討論思想，屬于難題．