Question

12．已知E、F、G分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、AB、BC的中點(diǎn)．分別求下列各對(duì)異面直線所成角的余弦值：
①EF與DC₁     ②BD₁與DC₁       ③BD₁與GC₁④EF與GC₁
⑤BD₁與EF     ⑥BD₁與DC        ⑦EF與AD₁        ⑧AD₁與GC₁ ．

Answer 1

分析 由正方體的性質(zhì)和異面直線所成角的定義，逐個(gè)選項(xiàng)解三角形可得．

解答 解：①由正方體的性質(zhì)可得DC₁⊥A₁B，又EF∥A₁B，
∴EF⊥DC₁，∴EF與DC₁所成角的余弦值為0；
②∵DC₁⊥D₁C，DC₁⊥BC，∴DC₁⊥平面BCD₁，
∴BD₁⊥DC₁，∴BD₁與DC₁所成角的余弦值為0；
③取B₁C₁的中點(diǎn)H，易得GC₁∥BH，
∴∠D₁BH即為BD₁與GC₁ 所成角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得BH=$\sqrt{5}$，BD₁=2$\sqrt{3}$
在RT△D₁BH中，可得cos∠D₁BH=$\frac{BH}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{6}$；
④由③知GC₁∥BH，又A₁B∥EF，
∴∠A₁BH即為EF與GC₁ 所成角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得A₁B=2$\sqrt{2}$，BH=A₁H=$\sqrt{5}$
在△A₁BH中，由余弦定理可得cos∠A₁BH
=$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×2\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
⑤∵D₁C∥EF，∴∠BD₁C即為BD₁與EF所成角，
在RT△BD₁C中，可得cos∠BD₁C=$\frac{{D}_{1}C}{{D}_{1}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
⑥∵DC∥D₁C₁，∴∠BD₁C₁即為BD₁與DC所成角，
在RT△BD₁C₁中，可得cos∠BD₁C₁=$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{{D}_{1}B}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
⑦∵D₁C∥EF，∴∠AD₁C即為EF與AD₁所成角，
∴AD₁C為等比三角形，∴∠AD₁C=60°，
∴EF與AD₁所成角的余弦值為$\frac{1}{2}$；
⑧∵BC₁∥AD₁，∴∠BC₁G即為AD₁與GC₁ 所成角，
在△BC₁G中，BG=1，BC₁=2$\sqrt{2}$，GC₁=$\sqrt{5}$，
由余弦定理可得cos∠BC₁G=$\frac{5+8-1}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成的角，涉及異面直線所成角的定義和余弦定理，屬中檔題．