Question

8．△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，A、B、C成等差數(shù)列，且$\overline{AB}•（\overline{AB}-\overline{AC}）=18$．
（1）求ac的值；
（2）若sinA、sinB、sinC也成等差數(shù)列，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出B的度數(shù)，已知等式利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算，將cosB的值代入求出ac的值即可；
（2）由sinA、sinB、sinC也成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用正弦定理與余弦定理化簡得到結(jié)果，即可作出判斷．

解答 解：（1）∵A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
已知等式整理得：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=ac•cosB=$\frac{1}{2}$ac=18，
解得：ac=36①；
（2）∵sinA、sinB、sinC也成等差數(shù)列，
∴2sinB=sinA+sinC，
在△ABC中，利用正弦定理化簡得：2b=a+c，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，即（$\frac{a+c}{2}$）²=a²+c²-36，
整理得：a²+c²=72②，
聯(lián)立①②，解得：a=c=6，
∵B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC為等邊三角形．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．