Question

13．已知函數(shù)$f（x）=（\sqrt{3}cosx-sinx）sinx$，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{π}{4}}]$上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
（Ⅰ）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)$0≤x≤\frac{π}{4}$，求出$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=（\sqrt{3}cosx-sinx）sinx$
=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，x∈R；
（Ⅰ）f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$，
令$-\frac{π}{2}++2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為
$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]，k∈Z$；---（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?0≤x≤\frac{π}{4}$，
所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
所以$0≤f（x）≤\frac{1}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時 f（x）取最小值f（x）_min=f（0）=0，
當(dāng)且僅當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$時f（x）取得最大值$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．---（12分）

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．