Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求BC₁與平面ABCD所成角的大��；
（2）求證：BC₁⊥B₁D；
（3）求證：B₁D⊥平面A₁BC₁．

Answer 1

分析 （1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，證明C₁C⊥平面ABCD，則∴∠C₁BC=α，就是直線BC₁與平面ABCD所成角，解直角三角形C₁BC即可．
（2）連接B₁C，由BC₁⊥B₁C，DC⊥BC₁，可證BC₁⊥平面B₁CD，即可證明BC₁⊥B₁D；
（3）連接B₁D₁，則證明A₁C₁⊥B₁D，由（2）可證BC₁⊥B₁D即可證明B₁D⊥平面A₁C₁B．

解答 解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∴C₁C⊥平面ABCD，
∴直線BC是直線BC₁在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴∠C₁BC=α，就是直線BC₁與平面ABCD所成角，
在直角三角形C₁BC中，
CC₁=BC，
∴∠C₁BC=45°．
（2）連接B₁C，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁⊥B₁C，DC⊥BC₁，
∵B₁C∩DC=C，
∴BC₁⊥平面B₁CD，
∵B₁D?平面B₁CD，
∴BC₁⊥B₁D；
（3）連接B₁D₁，則B₁D₁⊥A₁C₁，
∵BB₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
∵B₁D?平面BB₁DD₁，
∴A₁C₁⊥B₁D，
∵由（2）可證BC₁⊥B₁D；BC₁∩A₁C₁=C₁，
∴B₁D⊥平面A₁C₁B，得證．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查直線和平面所成的角，求直線和平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬基本知識的考查．