Question

14．在如圖所示多面體中，平面AEFD⊥平面BEFC，四邊形AEFD是邊長為2的正方形，EF∥BC，且BE=CF=$\frac{1}{2}$BC=2，G是BC的中點．
（1）求證：EG⊥平面BDF；                        
（2）求此多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接GF，則四邊形BEFG是菱形，于是EG⊥BF，面面垂直的性質(zhì)得出DF⊥平面BEFC，故而FD⊥EG，于是EG⊥平面BDF；
（2）過F作FH⊥EF，交BC于H，則可證FH⊥平面AEFD，于是多面體ABCDEF的體積V=V_D-BCF+V_B-AEFD．

解答 證明：（1）連接FG，
∵G是BC的中點，BE=EF=$\frac{1}{2}$BC，EF∥BC，
∴四邊形BEFG是菱形，
∴EG⊥BF．
∵四邊形ADFE是正方形，∴DF⊥EF．
又平面AEFD⊥平面BEFC，平面AEFD∩平面BEFC=EF，DF?平面AEFD，
∴DF⊥平面BEFC，又EG?平面BEFC，
∴DF⊥EG．
又DF?平面BDF，BF?平面BDF，BF∩DF=F，
∴EG⊥平面BDF．
解：（2）過F作FH⊥EF，交BC于H，
∵四邊形BEFC是等腰梯形，
∴CH=$\frac{1}{2}$（BC-EF）=1，F(xiàn)H=$\sqrt{3}$．
由（1）知DF⊥平面BEFC，∴DF⊥FH，
又FH⊥EF，EF∩DF=F，
∴FH⊥平面AEFD．
∴V_D-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{△BCF}•DF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
V_B-AEFD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形AEFD}•HF$=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴多面體ABCDEF的體積V=V_D-BCF+V_B-AEFD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．