Question

（2006•浦東新區(qū)一模）z為一元二次方程x²-2x+2=0的根，且 Imz＜0．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若實(shí)數(shù)a滿足不等式log2

|z-ai|

a2+1

≤

1

2

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解方程可得方程的兩個(gè)根為1±i，由Imz＜0可得z=1-i．
（2）解對(duì)數(shù)不等式可得：

|z-ai|

a2+1

≤

2

，即可得到：1+（a+1）²≤2（a²+1），解得a≤0或 a≥2，進(jìn)而得到a的范圍．

解答：解：（1）由題意可得：方程x²-2x+2=0的兩個(gè)根為1±i（3分）
又因?yàn)?Imz＜0，
所以z=1-i（4分）
（2）由log2

|z-ai|

a2+1

≤

1

2

得：

|z-ai|

a2+1

≤

2

，（6分）
因?yàn)閦=1-i，
所以可得：1+（a+1）²≤2（a²+1），（9分）
整理可得：a²-2a≥0，
解得a≤0或 a≥2，
所以a的取值范圍是a≤0或 a≥2（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的求模公式，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，此題綜合性較強(qiáng)，屬于基礎(chǔ)題．