Question

12．已知三棱錐A-BCD的四個頂點(diǎn)A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BD⊥AD，且AD=2$\sqrt{5}$，BD=2，CD=$\sqrt{3}$，則球O的體積為（　�。�

• A． 8$\sqrt{6}$π
• B． $\frac{27\sqrt{3}π}{2}$
• C． $\frac{7\sqrt{7}π}{6}$
• D． 10$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 證明BD⊥平面ACD，三棱錐S-ABC可以擴(kuò)充為以AB為對角線的長方體，外接球的直徑為AB，可得三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．

解答 解：由題意，AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，
∴AC⊥BD，
∵BD⊥AD，AC∩AD=A，
∴BD⊥平面ACD，
∴三棱錐S-ABC可以擴(kuò)充為以AB為對角線的長方體，外接球的直徑為AB，
∴4R²=AB²=BD²+AD²=4+20=24，
∴R=$\sqrt{6}$
∴球O的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=8$\sqrt{6}$π，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐的外接球的體積，考查學(xué)生的計算能力，證明BD⊥平面ACD是關(guān)鍵．