Question

20．在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，側(cè)面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，$\frac{3}{2}$，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

• A． 14π
• B． 12π
• C． 10π
• D． 8π

Answer 1

分析 先根據(jù)題意得出側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，再根據(jù)三角形面積公式，解方程組得SA=2，SB=1，SC=3，進而算出以SA、SB、SC為長、寬、高的長方體的對角線長為$\sqrt{14}$，從而得到三棱錐外接球R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，最后用球的表面積公式，可得此三棱錐外接球表面積．

解答 解：由題意得，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，
設(shè)SA=x，SB=y，SC=z，則
∵△SAB，△SBC，△SAC都是以S為直角頂點的直角三角形，面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，$\frac{3}{2}$，3
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=2}\\{yz=3}\\{xz=6}\end{array}\right.$，解之得：x=2，y=1，z=3即SA=2，SB=1，SC=3，
∵側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，
∴以SA、SB、SC為過同一頂點的3條棱作長方體，該長方體的對角線長為$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{14}$，恰好等于三棱錐外接球的直徑
由此可得外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴此三棱錐外接球表面積為S=4πR²=14π
故選A．

點評 本題給出特殊三棱錐，求它的外接球表面積，著重考查了空間垂直關(guān)系的性質(zhì)和多面體的外接球等知識，屬于中檔題．