Question

4．已知f（x）為一元二次函數，且m，f（m），f（f（m）），f（f（f（m）））成正項等比數列，求證：f（m）=m．

Answer 1

分析 可以設t=f（f（m）），f（t）=f（f（f（m））），由m，f（m），t，f（t）成等比數列，就有mf（t）=tf（m），可以發(fā)現(xiàn)式子有對稱性，不妨轉換成$\frac{f（t）}{f（m）}$=$\frac{t}{m}$，可設g（x）=$\frac{f（f（x））}{x}$，由二次函數f（x），可得g（x）為單調函數，即有f（m）=m．

解答 證明：要證明f（m）=m，就必須列出等式，沒有等式就構造等式．
為了簡便易懂，可以設t=f（f（m）），f（t）=f（f（f（m））），
顯然就要構造出等式m=t就能證出要證的結論，
由m，f（m），t，f（t）成等比數列，就有mf（t）=tf（m），可以發(fā)現(xiàn)式子有對稱性，
不妨轉換成$\frac{f（t）}{f（m）}$=$\frac{t}{m}$，
我們就可以構造函數g（x）=$\frac{f（f（x））}{x}$，
上式就等價于g（f（m））=g（m），
因為f（x）是二次函數，可以很容易的知道g（x）在其指定區(qū)間內是單調函數，
有f（m）=m．

點評 本題考查等式的證明，考查等比數列的性質的運用，注意運用對稱性和構造函數法，考查推理能力，屬于難題．