Question

4．已知f（x）為一元二次函數(shù)，且m，f（m），f（f（m）），f（f（f（m）））成正項(xiàng)等比數(shù)列，求證：f（m）=m．

Answer 1

分析 可以設(shè)t=f（f（m）），f（t）=f（f（f（m））），由m，f（m），t，f（t）成等比數(shù)列，就有mf（t）=tf（m），可以發(fā)現(xiàn)式子有對稱性，不妨轉(zhuǎn)換成$\frac{f（t）}{f（m）}$=$\frac{t}{m}$，可設(shè)g（x）=$\frac{f（f（x））}{x}$，由二次函數(shù)f（x），可得g（x）為單調(diào)函數(shù)，即有f（m）=m．

解答 證明：要證明f（m）=m，就必須列出等式，沒有等式就構(gòu)造等式．
為了簡便易懂，可以設(shè)t=f（f（m）），f（t）=f（f（f（m））），
顯然就要構(gòu)造出等式m=t就能證出要證的結(jié)論，
由m，f（m），t，f（t）成等比數(shù)列，就有mf（t）=tf（m），可以發(fā)現(xiàn)式子有對稱性，
不妨轉(zhuǎn)換成$\frac{f（t）}{f（m）}$=$\frac{t}{m}$，
我們就可以構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（f（x））}{x}$，
上式就等價(jià)于g（f（m））=g（m），
因?yàn)閒（x）是二次函數(shù)，可以很容易的知道g（x）在其指定區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
有f（m）=m．

點(diǎn)評 本題考查等式的證明，考查等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，注意運(yùn)用對稱性和構(gòu)造函數(shù)法，考查推理能力，屬于難題．