Question

10．設(shè)集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x-a²-5=0}．
（1）若{2}∩B={2}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件A∩B={2}，得2∈B，建立方程即可求實(shí)數(shù)a的值．
（2）A∩B=B，等價(jià)為B⊆A，然后分別討論B，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）有題可知：A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，
∵A∩B={2}，
∴2∈B，
將2代入集合B中得：4+4（a-1）+（a²-5）=0
解得：a=-5或a=1
當(dāng)a=-5時(shí)，集合B={2，10}符合題意；
當(dāng)a=1時(shí)，集合B={2，-2}，符合題意
綜上所述：a=-5，或a=1．
（2）若A∩B=B，則B⊆A，
∵A={1，2}，
∴B=∅或B={1}或{2}或{1，2}．
若B=∅，則△=4（a-1）²-4（a²-5）=24-8a＜0，解得a＞3，
若B={1}，則$\left\{\begin{array}{l}△=24-8a=0\\ x=-\frac{2（a-1）}{2}=1-a=1\end{array}\right.$，不存在滿足條件的a值．
若B={2}，則 $\left\{\begin{array}{l}△=24-8a=0\\ x=-\frac{2（a-1）}{2}=1-a=2\end{array}\right.$，不存在滿足條件的a值．
若B={1，2}．則$\left\{\begin{array}{l}△=24-8a＞0\\ 1+2=-2（a-1）\\ 1×2={a}^{2}-5\end{array}\right.$，不存在滿足條件的a值．
綜上a＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本運(yùn)算和集合關(guān)系的應(yīng)用，將條件A∩B=B轉(zhuǎn)化為B⊆A是解決本題的關(guān)鍵．