Question

設函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-2x+1+lnx（a＞0）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間
（2）若a=

1

2

，f′（x）≥m，求m的最大值
（3）若a=

3

4

，證明f（x）只有一個零點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f′(x)=ax-2+

1

x

=

ax2-2x+1

x

，利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（2）a=

1

2

時，f′(x)=

1 2 x2-2x+1

x

=

1

2

x +

1

x

-2，由此利用均值定理能求出m的最大值．
（3）a=

3

4

時，f（x）的增區(qū)間為（0，

2

3

），（2，+∞）；減區(qū)間為（

2

3

，2）．由f（

2

3

）=ln

2

3

-

1

6

＜0，f（2）=ln2-

7

2

＜0，能證明f（x）只有一個零點．

解答： （1）解：∵f（x）=

1

2

ax²-2x+1+lnx（a＞0），
∴f′(x)=ax-2+

1

x

=

ax2-2x+1

x

，且x＞0
①當0＜a＜1時，由f′（x）＞0，即ax²-2x+1＞0，
得x＞

1+ 1-a

a

或0＜x＜

1- 1-a

a

，
由f′（x）＜0，得

1- 1-a

a

＜x＜

1+ 1-a

a

，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，

1- 1-a

a

），（

1+ 1-a

a

，+∞）；
減區(qū)間為（

1- 1-a

a

，

1+ 1-a

a

）．
②當a=1時，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
③當a＞1時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間．
綜上所述：當0＜a＜1時，f（x）的增區(qū)間為（0，

1- 1-a

a

），（

1+ 1-a

a

，+∞）；
減區(qū)間為（

1- 1-a

a

，

1+ 1-a

a

）．
當a≥1時，f′(x)=

(x-1)a

x

≥0，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間．
（2）解：a=

1

2

時，
f′(x)=

1 2 x2-2x+1

x

=

1

2

x +

1

x

-2
≥2

1 2 x• 1 x

-2=

2

-2，
當且僅當x=

2

時，取等號，
∵f′（x）≥m，∴m的最大值為

2

-2．
（3）證明：由（1）知，a=

3

4

時，
f（x）的增區(qū)間為（0，

2

3

），（2，+∞）；減區(qū)間為（

2

3

，2）．
∵f（x）=

3

8

x²-2x+1+lnx，
∴f（

2

3

）=ln

2

3

-

1

6

＜0，f（2）=ln2-

7

2

＜0，
∴f（x）在（0，

2

3

和（

2

3

，2）沒有零點，在（2，+∞）內必有一個零點，
∴證明f（x）只有一個零點．

點評：本題考查函數(shù)的單調區(qū)間的求法，考查實數(shù)的最大值的求法，考查函數(shù)只有一個零點的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．