Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），若曲線y=f（x）的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行，求：
（1）a的值；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，最小值與直線12x+y=6的斜率相等建立等式關(guān)系，求出a的值即可；
（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的區(qū)間就是所求；
（3）利用（2），可得函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2ax-9（…1分）=3(x+

a

3

)2-9-

a2

3

，
即當(dāng)x=-

a

3

時(shí)，f'（x）取得最小值-9-

a2

3

…（3分）．
因?yàn)樾甭首钚〉那芯�與12x+y=6平行，即該切線的斜率為-12，
所以-9-

a2

3

=-12…（5分），解得a=-3或3（舍去）…（6分）
（2）由（1）知a=-3，因此f（x）=x³-3x²-9x-1，f'（x）=3x²-6x-9，
令f'（x）＜0，即3x²-6x-9＜0，解得-1＜x＜3；…（8分）
令f'（x）＞0，即3x²-6x-9＞0，解得x＜-1或x＞3；…（10分）
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，3]；單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）…（11分）
（3）令f'（x）=0，即3x²-6x-9=0，解得x=-1或3…（12分），
結(jié)合（2）當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）_極大值=f（-1）=4；
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）_極小值=f（3）=-28…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值，及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．