Question

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，ω＞0，A＞0）其部分圖象如圖所示：
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式．
（2）已知等腰三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是邊a，b，c，且b=c若g（x）=af（x）+2a+b．當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]時(shí)，g（x）∈[5，8]，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)取得最大值2，求出φ，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由已知利用角的范圍，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求g（x）∈[a+b，$\frac{5a}{2}$+b]，解方程組a+b=5，$\frac{5a}{2}$+b=8，可得a，b，c的值，利用余弦定理可求cosA，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算求值得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）解：由題意可知A=1，T=4（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2π，ω=$\frac{2π}{T}$=1，
由于當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)取得最大值1，
所以：1=sin（$\frac{π}{6}$+φ），
所以：φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由于：-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
可得：φ=$\frac{π}{3}$，
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）…（4分）
（2）∵g（x）=asin（x+$\frac{π}{3}$）+2a+b．
∵x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]時(shí)，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，可得：sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴g（x）∈[a+b，$\frac{5a}{2}$+b]，
又g（x）∈[5，8]，可得：a+b=5，$\frac{5a}{2}$+b=8，解得：a=2，b=3，c=3，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+9-4}{2×3×3}$=$\frac{7}{9}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×3×3×$$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=2$\sqrt{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．