Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2) .

【解析】

（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）先令，得，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)分成三類(lèi)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且，列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1），

令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）令，可得，令，且，

本題等價(jià)于函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且 .

當(dāng)時(shí)，，解得，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)時(shí)，，令，解得或，

當(dāng)時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，又，，所以函數(shù)存在負(fù)數(shù)零點(diǎn)，不符合題意

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，故，解得 ，

綜上，的取值范圍為.