Question

7．已知a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{cosx}{2}$dx，則（ax-$\frac{1}{2ax}$）⁹的展開式中，關(guān)于x的一次項的系數(shù)為（　�。�

• A． $\frac{63}{16}$
• B． -$\frac{63}{16}$
• C． $\frac{63}{8}$
• D． -$\frac{63}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)定積分求出a的值，再利用二項式展開式的通項公式，求出展開式中關(guān)于x的一次項系數(shù)即可．

解答 解：∵a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{cosx}{2}$dx=$\frac{1}{2}$${sinx|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{1}{2}$（sin$\frac{π}{2}$-sin0）=$\frac{1}{2}$，
∴（ax-$\frac{1}{2ax}$）⁹=${（\frac{x}{2}-\frac{1}{x}）}^{9}$，
其展開式中，通項公式為
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{x}{2}）}^{9-r}$•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•x^9-2r；
令9-2r=1，解得r=4；
∴T₄₊₁=${C}_{9}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{5}$x=$\frac{63}{16}$x，
即展開式中關(guān)于x的一次項系數(shù)為$\frac{63}{16}$．

點評 本題考查了定積分的計算問題，也考查了二項式定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．