Question

18．對于函數(shù)f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（1）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)？并說明理由；
第一組：${f_1}（x）=sinx，\;\;{f_2}（x）=cosx，\;\;h（x）=sin（x+\frac{π}{3}）$；
第二組：${f_1}（x）={x^2}-x\;，\;{f_2}（x）={x^2}+x+1\;，\;\;h（x）={x^2}-x+1$；
（2）設(shè)${f_1}（x）={log_2}x，{f_2}（x）={log_{\frac{1}{2}}}x，a=2，b=1$，生成函數(shù)h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用生成函數(shù)的定義，判斷h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)，從而得出結(jié)論．
（2）由題意可得不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，等價于$t＜-3{h^2}（x）-2h（x）=-3log_2^2x-2{log_2}x$ 在[2，4]上有解．令s=log₂x，則s∈[1，2]，由$y=-3log_2^2x-2{log_2}x=-3{s^2}-2s$，求得y的最小值，可得t的范圍．

解答 解：（1）①設(shè)$asinx+bcosx=sin（x+\frac{π}{3}）$，即$asinx+bcosx=\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$，
取$a=\frac{1}{2}，\;\;b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
②設(shè)a（x²-x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²-（a-b）x+b=x²-x+1，
則$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\-a+b=-1\\ b=1\end{array}\right.$，該方程組無解．所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（2）因?yàn)?{f_1}（x）={log_2}x，{f_2}（x）={log_{\frac{1}{2}}}x，a=2，b=1$，
所以 $h（x）=2{f_1}（x）+{f_2}（x）=2{log_2}x+{log_{\frac{1}{2}}}x={log_2}x$，
不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
等價于$t＜-3{h^2}（x）-2h（x）=-3log_2^2x-2{log_2}x$ 在[2，4]上有解，
令s=log₂x，則s∈[1，2]，由$y=-3log_2^2x-2{log_2}x=-3{s^2}-2s$，
知y取得最小值-5，所以t＜-5．

點(diǎn)評 本題主要考查新定義，兩角和差的正弦函數(shù)，屬于中檔題．