Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)$（{n，\frac{S_n}{n}}）（{n∈{N^*}}）$在直線3x-y-1=0上，設(shè)c_n=$\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使得T_n＜$\frac{K}{9}$對所有的n∈N^*都成立的最小正整數(shù)K；
（3）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過將點(diǎn)$（{n，\frac{S_n}{n}}）（{n∈{N^*}}）$代入直線3x-y-1=0、整理得S_n=3n²-n，利用S_n=3n²-n與S_n+1=3（n+1）²-（n+1）作差、計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過裂項(xiàng)可知c_n=$\frac{1}{3}•$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），并項(xiàng)相加得T_n=$\frac{n}{3n+1}$，通過整理可知K＞$\frac{9}{3+\frac{1}{n}}$，利用極限思想即得結(jié)論；
（3）通過假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n）滿足條件、化簡可知$\frac{6m+1}{{m}^{2}}$=$\frac{3n+4}{n}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)$（{n，\frac{S_n}{n}}）（{n∈{N^*}}）$在直線3x-y-1=0上，
∴3n-$\frac{{S}_{n}}{n}$-1=0，
整理得：S_n=3n²-n，
∴S_n+1=3（n+1）²-（n+1），
兩式相減得：a_n+1=[3（n+1）²-（n+1）]-[3n²-n]=6（n+1）-4，
又∵a₁=S₁=3-1=2滿足上式，
∴a_n=6n-4；
（2）∵a_n=6n-4，
∴c_n=$\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{4}{（6n-4）（6n+2）}$=$\frac{1}{3}•$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}•$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
∴T_n＜$\frac{K}{9}$即$\frac{n}{3n+1}$＜$\frac{K}{9}$，
即K＞$\frac{9n}{3n+1}$=$\frac{9}{3+\frac{1}{n}}$，
而$\frac{9}{3+\frac{1}{n}}$隨著n的增大而增大，并越來越接近于3，
∴最小正整數(shù)K=3；
（3）結(jié)論：存在正整數(shù)m=2、n=16使T₁、T_m、T_n成等比數(shù)列．
理由如下：
由（2）可知T_n=$\frac{n}{3n+1}$，
假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，
則${{T}_{m}}^{2}$=T₁•T_n，即$（\frac{m}{3m+1}）^{2}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{n}{3n+1}$，
整理得：$\frac{6m+1}{{m}^{2}}$=$\frac{3n+4}{n}$，
∴當(dāng)m=1時(shí)，7=$\frac{3n+4}{n}$，解得n=1，不符合題意；
當(dāng)m=2時(shí)，$\frac{13}{4}$=$\frac{3n+4}{n}$，解得n=16，符合題意；
當(dāng)m=3時(shí)，$\frac{19}{9}$=$\frac{3n+4}{n}$，n無正整數(shù)解；
當(dāng)m=4時(shí)，$\frac{25}{16}$=$\frac{3n+4}{n}$，n無正整數(shù)解；
當(dāng)m=5時(shí)，$\frac{31}{25}$=$\frac{3n+4}{n}$，n無正整數(shù)解；
當(dāng)m=6時(shí)，$\frac{37}{36}$=$\frac{3n+4}{n}$，n無正整數(shù)解；
當(dāng)m≥7時(shí)，∵m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，
∴$\frac{6m+1}{{m}^{2}}$＜1，
而$\frac{3n+4}{n}$=3+$\frac{4}{n}$＞3，
∴此時(shí)不存在正整數(shù)m、n（1＜m＜n），使T₁、T_m、T_n成等比數(shù)列；
綜上所述，存在正整數(shù)m=2、n=16使T₁、T_m、T_n成等比數(shù)列．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)，裂項(xiàng)法，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、考查了學(xué)生計(jì)算、綜合分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．