Question

14．已知四邊形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD．
（1）求證：DF⊥平面PAF；
（2）若∠PBA=45°，求三棱錐C-PFD的體積；
（3）在棱PA上是否存在一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD，若存在，請(qǐng)求出$\frac{AG}{AP}$的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理的逆定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD得PA⊥DF，故而DF⊥平面PAF；
（2）根據(jù)PA⊥AB，∠PBA=45°可得PA=1，把△CDF作棱錐的底面，則PA為棱錐的高；
（3）過(guò)E作EH∥DF交AD于H，過(guò)H作HG∥PD，則平面EGH∥平面PDF，根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)和平行線等分線段成比例定理可求得$\frac{AG}{AP}$的值．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，∵F是BC的中點(diǎn)，AB=1，AD=2，
∴AF=DF=$\sqrt{2}$，∴AF²+DF²=4=AD²，
∴DF⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴PA⊥DF，
又∵PA?平面PAF，AF?平面PAF，PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，∵∠PBA=45°，
∴PA=AB=1．
∴三棱錐C-PFD的體積V=$\frac{1}{3}$S_△CDF×PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．
（3）過(guò)E作EH∥DF交AD于H，過(guò)H作HG∥PD，
則平面EGH∥平面PDF，
∴EG∥平面PDF．
∵EH∥DF，∴$\frac{AH}{AD}=\frac{1}{4}$，
又∵HG∥PD，∴$\frac{AG}{AP}=\frac{AH}{AD}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．