Question

13．已知O是△ABC外接圓的圓心，若4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+6$\overline{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 由$\overline{OC}$=-$\frac{1}{6}$（4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）．兩邊平方，由外接圓的性質(zhì)，即可求得cos∠AOB=-$\frac{1}{8}$，且∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，根據(jù)半角公式即可求得cosC．

解答 解：由O是△ABC外接圓的圓心，則丨$\overline{OA}$丨=丨$\overrightarrow{OB}$丨=丨$\overline{OC}$丨=R，由4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+6$\overline{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
且$\overline{OC}$=-$\frac{1}{6}$（4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）．
平方可得 R²=$\frac{1}{36}$（16R²+40R²cos∠AO，B+25R²），解得：cos∠AOB=-$\frac{1}{8}$，
由∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
則cos∠ACB=cos$\frac{1}{2}$∠AOB=$\sqrt{\frac{1+cos∠AOB}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
則cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的運(yùn)算和三角形外心的性質(zhì)和應(yīng)用，半角公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用，屬于中檔題