Question

12．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若橢圓上存在一點(diǎn)P使得∠F₁PF₂=90°，且|PF₁|是|PF₂|和|F₁F₂|的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率e為（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{2m=n+2c}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，化簡即可得出．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{2m=n+2c}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，化為：$（\frac{2a+2c}{3}）^{2}$+$（\frac{4a-2c}{3}）^{2}$=4c²，
∴7e²+2e-5=0，0＜e＜1．
解得e=$\frac{5}{7}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．