Question

2．直線x+y+1=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的相交弦長為$\frac{24}{7}$，弦的中點坐標為$（-\frac{4}{7}，-\frac{3}{7}）$．

Answer 1

分析 設直線與橢圓相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x₀，y₀）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：7x²+8x-8=0，利用根與系數(shù)的關系可得：|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，利用中點坐標公式可得M．

解答 解：設直線與橢圓相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=$\frac{-8}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（-\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）]}$=$\frac{24}{7}$．
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4}{7}$，y₀=-1-x₀=-$\frac{3}{7}$．∴$M（-\frac{4}{7}，-\frac{3}{7}）$．
故答案分別為：$\frac{24}{7}$；$（-\frac{4}{7}，-\frac{3}{7}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．