Question

15．已知極坐標(biāo)方程ρcosθ+ρsinθ-1=0的直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為P，與橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把極坐標(biāo)方程ρcosθ+ρsinθ-1=0化為直角坐標(biāo)，進(jìn)而得到P．
（2）利用cos²θ+sin²θ可把橢圓參數(shù)方程化為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．直線(xiàn)l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入橢圓方程，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（1）極坐標(biāo)方程ρcosθ+ρsinθ-1=0化為直角坐標(biāo)：x+y-1=0，
令y=0，可得x=1，
∴P（1，0）．
（2）橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）消去參數(shù)化為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
直線(xiàn)l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入橢圓方程可得：5t²-2$\sqrt{2}$t-6=0，
∴t₁t₂=-$\frac{6}{5}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線(xiàn)與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、直線(xiàn)參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．