Question

1．如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D是PC的中點．
（1）求證：平面ABD⊥平面PBC；
（2）若PA與平面ABC所成的角為30°，AB=BC，求二面角D-AB-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥PC，AB⊥BC，AB⊥平面PBC，由此能證明平面ABD⊥平面PBC．
（2）由PC⊥底面ABC，得∠PAC是PA與平面ABC所成的角，由此能求出二面角D-AB-C的正切值．

解答 證明：（1）∵PC⊥底面ABC，AB?底面ABC，
∴AB⊥PC，
又AB⊥BC，PC∩BC=C，
∴AB⊥平面PBC，
∵AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面PBC．
解：（2）∵PC⊥底面ABC，
∴∠PAC是PA與平面ABC所成的角，
∵PA與平面ABC所成的角為30°，
∴∠PAC=30°，
設AB=BC=1，則AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
PC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，DC=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
由（1）知AB⊥平面PBC，
∴DB⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DBC是二面角D-AB-C的平面角，
∵tan$∠DBC=\frac{DC}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角D-AB-C的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．