Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓與A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1）平行．則該橢圓離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 寫(xiě)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，用根與系數(shù)的關(guān)系可得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，據(jù)向量共線(xiàn)的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意，直線(xiàn)AB的方程為y=x+c，代入橢圓方程，
化簡(jiǎn)得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{-2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）與$\overrightarrow{a}$=（-2，1）平行，
∴2（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁+c，y₂=x₂+c，
∴2（x₁+x₂+2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=$-\frac{4}{3}c$，
∴$\frac{-2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$=$-\frac{4}{3}c$，
得a²=2b²=2（a²-c²），
∴a²=2c²，得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的常用方法是：聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，該題中同時(shí)注意向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算，是中檔題．