Question

18．已知{a_n}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為S_n．且S_n為a_n與$\frac{1}{{a}_{n}}$的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{{（-1）}^{n}}{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過2S_n=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$計算出數(shù)列的前幾項，進而猜想通項公式，利用數(shù)學歸納法證明即可；
（2）通過（1）分母有理化可知b_n=（-1）ⁿ（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$），進而分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵S_n為a_n與$\frac{1}{{a}_{n}}$的等差中項，
∴2S_n=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
當n=1時，易知a₁=1，
當n=2時，2+2a₂=a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$，
整理得：${{a}_{2}}^{2}$+2a₂-1=0，
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1或a₂=-$\sqrt{2}$-1（舍），
當n=3時，2$\sqrt{2}$+2a₃=a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$，
整理得：${{a}_{3}}^{2}$+2$\sqrt{2}$a₃-1=0，
解得：a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍），
…
猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用數(shù)學歸納法來證明：
①當n=1時，結論顯然成立；
②假設當n=k-1（k≥2）時成立，即a_k-1=$\sqrt{k-1}$-$\sqrt{k-2}$，
則2S_k=a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$，即2$\sqrt{k-1}$+a_k-$\frac{1}{{a}_{k}}$=0，
整理得：${{a}_{k}}^{2}$+2$\sqrt{k-1}$a_k-1=0，
解得：a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$或a_k=-$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$（舍），
即當n=k時結論也成立；
由①②可知a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{（-1）}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$=（-1）ⁿ（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$），
當n為奇數(shù)時，T_n=-1+（$\sqrt{2}$+1）-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）+…+（$\sqrt{n-1}$+$\sqrt{n-2}$）-（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）
=-$\sqrt{n}$，
當n為偶數(shù)時，T_n=-1+（$\sqrt{2}$+1）-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）+…-（$\sqrt{n-1}$+$\sqrt{n-2}$）+（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）
=$\sqrt{n}$，
綜上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{n}，n為奇數(shù)}\\{\sqrt{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查數(shù)學歸納法，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．