Question

8．定義在（0，π）上的函數(shù)y=f（x）滿足f′（x）＜f（x）•cotx，則下列不等式錯誤的是（　　）

• A． sin1•f（$\frac{1}{2}$）＞sin$\frac{1}{2}$•f（1）
• B． $\frac{1}{2}$•f（$\frac{1}{2}$）＞sin$\frac{1}{2}$•f（$\frac{π}{6}$）
• C． sin2•f（1）＞sin1•f（2）
• D． f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求出g（x）的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)值的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$，
由f′（x）＜f（x）•cotx得：f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，
∴g′（x）＜0在（0，π）恒成立，g（x）在（0，π）遞減，
∴g（$\frac{1}{2}$）＞g（1），A正確，g（$\frac{1}{2}$）＞g（$\frac{π}{6}$），B正確，
g（1）＞g（2），C正確，g（$\frac{π}{3}$）＜g（$\frac{π}{6}$），D錯誤，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求出g（x）的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．