Question

16．如圖，空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，DE是AB與CD的公垂線段，且 AE=BE=DE．
（1）證明：AC⊥BD；
（2）若∠ACB=60°，求直線BD與平面ABC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）證明CD⊥平面ABD，AD⊥BD，即可證明AC⊥BD；
（2）連結(jié)CE，作DH⊥CE于H，連結(jié)BH，確定BD與平面ABC所成的角為∠DBH，即可求直線BD與平面ABC所成的角的大�。�

解答 （1）證明：由已知AB⊥CD，DE⊥CD，AB∩DE=E，
可得CD⊥平面ABD．
又△ABD中，AE=BE=DE，DE⊥AB，
∴AD=BD，AD⊥BD，
又AD為AC在平面ABD內(nèi)的射影，
∴AC⊥BD；
（2）解：連結(jié)CE，作DH⊥CE于H，連結(jié)BH．
由AB⊥DE，AB⊥CD知，AB⊥平面CDE，
∴平面ABC⊥平面CDE，
又DH⊥CE，∴DH⊥平面ABC，
故BD與平面ABC所成的角為∠DBH．
∵Rt△CAD≌Rt△CBD，
∴AC=BC，
又∠ACB=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
記AB=a，則CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DE=$\frac{1}{2}$a，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△CDE中，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，∴DH=$\frac{CD•DE}{CE}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，
故在Rt△BDH中，sin∠DBH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故BD與平面ABC所成的角為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．