Question

15．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-ax．
（1）若函數(shù)f（x）在[2，4]上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)h（a）為f（x）在[2，4]上的最小值，求h（a）．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x²-ax，f′（x）=2x-a．根據(jù)函數(shù)f（x）在[2，4]上具有單調(diào)性，可得f′（2）≥0，或f′（4）≤0．解出即可得出．
（2）函數(shù)f（x）=x²-ax=$（x-\frac{a}{2}）^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$．對(duì)a分類(lèi)討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出h（a）．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax，f′（x）=2x-a
∵函數(shù)f（x）在[2，4]上具有單調(diào)性，∴f′（2）≥0，或f′（4）≤0．
∴4-a≥0，或8-a≤0，
解得a≤4，或a≥8．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]∪[8，+∞）．
（2）函數(shù)f（x）=x²-ax=$（x-\frac{a}{2}）^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
①$\frac{a}{2}$≥4，即a≥8時(shí)，函數(shù)f（x）在[2，4]上單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（4）=16-4a．
②$2＜\frac{a}{2}＜4$，即4＜a＜8時(shí)，函數(shù)f（x）在[2，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{a}{2}$，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
③$\frac{a}{2}$≥2，即a≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（2）=4-2a．
綜上可得：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2a，a≤4}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}，4＜a＜8}\\{16-4a，a≥8}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類(lèi)討論方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．