(本小題滿分14分)
已知
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)判斷并證明的奇偶性與單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍。
(1)則;(2)函數(shù)為奇函數(shù)。證明見解析。
(3).
解析試題分析:(1)利用換元法:令t=logax⇒x=at,代入可得f(t)從而可得函數(shù)f(x)的解析式
(2)由(1)得f(x)定義域為R,可求函數(shù)的定義域,先證奇偶性:代入f(-x)=-f(x),從而可得函數(shù)為奇函數(shù)。再證單調(diào)性:利用定義任取x1<x2,利用作差比較f(x1)-f(x2)的正負,從而確當f(x1)與f(x2)的大小,進而判斷函數(shù)的單調(diào)性
(3)根據(jù)上面的單調(diào)性的證明以及定義域得到不等式的求解。
解:(1)令
則 ………3分
(2)
∴函數(shù)為奇函數(shù)。 ………5分
當,任取
-
==
=
,
類似可證明當,綜上,無論,上都是增函數(shù)。 ………9分
(3)不等式化為
∵上都是增函數(shù),∴恒成立
即對恒成立,∴
故的取值范圍. ………14分
考點:本試題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的三點:①利用換元法求函數(shù)的解析式,這是求函數(shù)解析式中最為重要的方法,要注意掌握,解答此類問題的注意點:換元后要確定新元的范圍,從而可得所要求的函數(shù)的定義域②函數(shù)奇偶性的判斷。
點評:解題的關(guān)鍵是利用奇偶性的定義③利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(i)任設(shè)x1<x2(也可x1>x2)(ii)作差f(x1)-f(x2)(iii)定號,給出結(jié)論.
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(13分) 設(shè)函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在上的最大值;
(2)記函數(shù),若函數(shù)有零點,求的取值范圍.
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(本小題滿分12分)
對于定義域為D的函數(shù),若同時滿足下列條件:①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間[],使在[]上的值域為[];那么把()叫閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[];
(2)判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)?并說明理由;
(3)若函數(shù)是閉函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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(本小題滿分12分)
設(shè),且,定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的取值范圍;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性并證明.
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(本小題滿分12分)如下左圖,已知底角為450的等腰三角形ABC,底邊AB的長為2,當一條垂直于AB的直線L從左至右移動時,直線L把三角形ABC分成兩部分,令AD=,
(1) 試寫出左邊部分的面積與x的函數(shù)解析式;
(2) 在給出的坐標系中畫出函數(shù)的大致圖象。
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(本小題滿分12分)
已知冪函數(shù)為偶函數(shù),且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),
⑴求函數(shù)的解析式;
⑵討論函數(shù)的奇偶性。 (12分)
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(附加題)本小題滿分10分
已知是定義在上單調(diào)函數(shù),對任意實數(shù)有:且時,.
(1)證明:;
(2)證明:當時,;
(3)當時,求使對任意實數(shù)恒成立的參數(shù)的取值范圍.
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