Question

（本小題滿分12分）
設(shè)，且,定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求的取值范圍；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性并證明.

Answer 1

（1）. （2）在（-b,b)內(nèi)是減函數(shù)，具有單調(diào)性.

解析試題分析：（1）由函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）是奇函數(shù)，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系數(shù)法求得a；同時(shí)函數(shù)要有意義，即＞0，x∈（-b，b）上恒成立，可解得結(jié)果．
（2）選用定義法求解，先任意取兩個(gè)變量且界定大小，再作差變形看符號(hào)．
解 （1）是奇函數(shù)等價(jià)于：
對(duì)任意都有…………………2分
（1）式即為，由此可得,也即,…………………4分
此式對(duì)任意都成立相當(dāng)于,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3f/6/ot2ls.png" style="vertical-align:middle;" />,所以，
代入②式，得＞0,即,此式對(duì)任意都成立相當(dāng)于,…………………6分
所以的取值范圍是.…………………7分
（2）設(shè)任意的，且,由，得,
所以…………………9分
從而 
因此在（-b,b)內(nèi)是減函數(shù)，具有單調(diào)性. …………………12分
考點(diǎn)：本試題主要考查了函數(shù)的奇偶性，還考查了用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是要注意定義域優(yōu)先考慮原則，以及作差時(shí)的變形要到位，要用上兩個(gè)變量的大小關(guān)系。