Question

定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在R上恰有六個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  5

  5

  ）
• B、(

  5

  5

  ，1)
• C、(

  5

  5

  ，

  3

  3

  )
• D、(

  3

  3

  ，1)

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函數(shù)f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據(jù)函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上恰有六個零點，利用數(shù)形結合的方法進行求解；

解答： 解：因為 f（x+2）=f（x）+f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）+f（1），f（-1）=f（1）
即 f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
圖象為開口向下，頂點為（3，0）的拋物線
∵函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上有六個零點，
令g（x）=log_a（|x|+1），
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上有六個零點，

如上圖所示，只需要滿足

g(2)＞-2 g(4)＜-2

，
解得

5

5

＜a＜

3

3

，
故選：C．

點評：本題重點考查函數(shù)的周期性與單調(diào)性，屬于中檔題，難度中．