Question

2．已知a∈R，函數(shù)f（x）=（x-a）|x-1|．
（Ⅰ）若a=3，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[a-$\sqrt{2}$+1，b]上的值域?yàn)閇-1，1]，求a，b需要滿足的條件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去絕對(duì)值號(hào)得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3}&{x≥1}\\{-{x}^{2}+4x-3}&{x＜1}\end{array}\right.$，然后根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求每段上f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）對(duì)每段上f（x）進(jìn)行配方，便可得到f（x）=（x-2）²-1，x≥1，f（x）=-（x-2）²+1，x＜1，從而可畫出f（x）的大致圖象，根據(jù)圖象即可得出區(qū)間$[a-\sqrt{2}+1，b]$的兩端點(diǎn)滿足的條件，從而得出a，b滿足的條件．

解答 解：（Ⅰ）a=3時(shí)，$f（x）=（x-3）|x-1|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3}&{x≥1}\\{-{x}^{2}+4x-3}&{x＜1}\end{array}\right.$；
①x≥1時(shí)，f（x）=x²-4x+3；
∴f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
②x＜1時(shí)，f（x）=-x²+4x-3；
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），[2，+∞）；
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+1）x+a}&{x≥1}\\{-{x}^{2}+（a+1）x-a}&{x＜1}\end{array}\right.$；
可以畫出f（x）的大致圖象為：

（1）若a＞1；
①$\frac{-（a-1）^{2}}{4}＜-1$，即a＞3；
解x²-（a+1）x+a=-1得，x=$\frac{a+1±\sqrt{{a}^{2}-2a-3}}{2}$；
∴$\frac{a+1+\sqrt{{a}^{2}-2a-3}}{2}=a-\sqrt{2}+1$，∴$a=2\sqrt{2}+1$，滿足a＞3；
令x²-4x+3=1得，$x=2±\sqrt{2}$，b=2$+\sqrt{2}$；
②$\frac{-（a-1）^{2}}{4}=-1$，∴a=3；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3}&{x≥1}\\{-{x}^{2}+4x-3}&{x＜1}\end{array}\right.$；
令-x²+4x-3=-1得，$x=2±\sqrt{2}$，令x²-4x+3=1得，$x=2±\sqrt{2}$；
∴$2-\sqrt{2}≤a-\sqrt{2}+1≤2，b=2+\sqrt{2}$；
即$1≤a≤1+\sqrt{2}，b=2+\sqrt{2}$；
③$\frac{-（a-1）^{2}}{4}＞-1$，即1＜a＜3；
解-x²+（a+1）x-a=-1得，$x=\frac{a+1±\sqrt{{a}^{2}-2a+5}}{2}$；
∴$\frac{a+1-\sqrt{{a}^{2}-2a+5}}{2}=a-\sqrt{2}+1$，則a=-1，與1＜a＜3矛盾，即這種情況不存在；
（2）若a=1，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}}&{x≥1}\\{-（x-1）^{2}}&{x＜1}\end{array}\right.$；
則由上面知a=-1，與a=1矛盾，即這種情況不存在；
（3）若a＜1，則：
①$\frac{-（a-1）^{2}}{4}＜-1$時(shí)，即a＜-1，由上面求出a=$2\sqrt{2}+1$，不滿足a＜-1，這種情況不存在；
②$\frac{-（a-1）^{2}}{4}＞-1$時(shí)，即-1＜a＜1，由上面求出a=-1，不符合-1＜a＜1；
綜上得$1≤a≤1+\sqrt{2}$，b=$2+\sqrt{2}$，或a=$2\sqrt{2}+1$，$b=2+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，二次函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，函數(shù)值域的概念，根據(jù)函數(shù)圖象解決問題的方法．