Question

20．已知棱長為$\sqrt{3}$的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線AC₁為軸，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{9\sqrt{2}}}{8}π$
• B． $\frac{{9\sqrt{2}}}{4}π$
• C． $2\sqrt{3}π$
• D． $3\sqrt{2}π$

Answer 1

分析 由題知，只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題知，只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況，
由圖形的對稱性可知，圓柱的上底面必與過A點的三個面相切，
且切點分別在線段AB₁，AC，AD₁上，設(shè)線段AB₁上的切點為E，AC₁∩面A₁BD=O₂，圓柱上底面的圓心為O₁，
半徑即為O₁E記為r，則${O_2}F=\frac{1}{3}DF=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{6}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$A{O_2}=\frac{1}{3}A{C_1}=1$，
由O₁E∥O₂F知$\frac{{{O_1}E}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{A{O_1}}}{1}⇒A{O_1}=\sqrt{2}{O_1}E$，則圓柱的高為$3-2A{O_1}=3-2\sqrt{2}r$，${S_側(cè)}=2πr（3-2\sqrt{2}r）=4\sqrt{2}πr（\frac{{3\sqrt{2}}}{4}-r）≤4\sqrt{2}π•{（\frac{{r+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}-r}}{2}）^2}═\frac{{9\sqrt{2}π}}{8}$．
故選：A．

點評 本題考查圓柱側(cè)面積的最大值，考查旋轉(zhuǎn)體，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．