Question

4．已知定義在區(qū)間[a，a+2]上的奇函數(shù)y=f（x），當0＜x≤a+2時，f（x）=$\frac{1}{4}$（x-1）．若方程f（x）=x³+cx恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的取值范圍為$c=-\frac{1}{2}$或c＜-1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a的值，求出函數(shù)f（x）的表達式，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在區(qū)間[a，a+2]上的奇函數(shù)，
∴a+a+2=0，即2a+2=0，交點a=-1，
即對應(yīng)區(qū)間為[-1，1]，當0＜x≤1時，f（x）=$\frac{1}{4}$（x-1）．
則當-1≤x＜0時，0＜-x≤1，此時f（-x）=$\frac{1}{4}$（-x-1）=-f（x），
則f（x）=$\frac{1}{4}$（x+1），
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（x-1），}&{0＜x≤1}\\{0，}&{x=0}\\{\frac{1}{4}（x+1），}&{-1≤x＜0}\end{array}\right.$．
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則設(shè)g（x）=x³+cx，則g（x）為奇函數(shù)，
若方程f（x）=x³+cx恰有三個不相等的實數(shù)根，
則等價為f（x）與g（x）有3個不同的交點，
根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性，則等價為在（0，1]上，兩個函數(shù)只有一個交點，
函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x²+c，
若c≥0，則g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（0，1]上為增函數(shù)，此時在（0，1]上沒有交點，不滿足條件．
若c＜0，
當g（x）與f（x）在（0，1]上相切時，由g′（x）=$\frac{1}{4}$得3x²+c=$\frac{1}{4}$，
即3x²=$\frac{1}{4}$-c，
由x³+cx=$\frac{1}{4}$（x-1）兩個方程聯(lián)立得c=$-\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{2}$，即切點坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{8}$）．
當g（x）與f（x）不相切時，即c≠$-\frac{1}{2}$時，
要使在（0，1]上，兩個函數(shù)只有一個交點，
則滿足g（1）＜0，
即1+c＜0，解得c＜-1，
綜上$c=-\frac{1}{2}$或c＜-1，
故答案為：$c=-\frac{1}{2}$或c＜-1

點評 本題主要考查方程根的個數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性性質(zhì)求出a的值，以及利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．