Question

11．函數(shù)g（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xg（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （0，1）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，由函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得原不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F（x）＞0}\end{array}\right.$，結(jié)合圖象可得．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則F（x）為偶函數(shù)且x≠0，
求導(dǎo)數(shù)可得F′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）x′}{{x}^{2}}$=$\frac{xg（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，xg（x）-f（x）＜0，∴F′（x）＜0，
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
由函數(shù)為偶函數(shù)可得F（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，
由f（1）=0可得F（1）=0，
∴f（x）＜0等價(jià)于xF（x）＜0
等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F（x）＞0}\end{array}\right.$，
解得x∈（1-，0）∪（1，+∞）
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．