Question

20．已知函數(shù)f（x）=log₂（1-x），g（x）=log₂（1+x），令F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求F（x）的定義域；
（2）若a，b∈（0，1），猜想F（a）+F（b）與F（$\frac{a+b}{1+ab}$）之間的關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）由真數(shù)大于零列出不等式組解出即可；
（2）分別求出F（a）+F（b）與F（$\frac{a+b}{1+ab}$）的解析式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較真數(shù)的大小即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由式子有意義得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1．
∴F（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
（2）F（x）=f（x）-g（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
F（a）+F（b）=log₂$\frac{1-a}{1+a}$+log₂$\frac{1-b}{1+b}$=log₂$\frac{1-a-b+ab}{1+a+b+ab}$，
F（$\frac{a+b}{1+ab}$）=log2$\frac{1-\frac{a+b}{1+ab}}{1+\frac{a+b}{1+ab}}$=log₂$\frac{1-a-b+ab}{1+a+b+ab}$，
∴F（a）+F（b）=F（$\frac{a+b}{1+ab}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．