Question

3．以雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)A為圓心作與漸近線相切的圓，過(guò)左焦點(diǎn)F作該圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為P，切線與y軸的交點(diǎn)為M，且FM：MP=8：3，求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析 由題意可推出FM=$\frac{8}{11}$FP，從而可得FP=$\sqrt{\frac{11}{8}（a+c）c}$，再求得r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，從而利用勾股定理可得（a+c）²=$\frac{11}{8}$（a+c）c+$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$；從而解得．

解答 解：∵$\frac{FM}{MP}$=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{FM}{FP}$=$\frac{8}{11}$，
即FM=$\frac{8}{11}$FP；
又∵△FMD∽△FAP，
∴$\frac{FD}{FP}$=$\frac{FM}{FA}$，
∴FP=$\sqrt{\frac{11}{8}（a+c）c}$，
A（a，0），
∴r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
又∵FA²=FP²+PA²，
∴（a+c）²=$\frac{11}{8}$（a+c）c+$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$；
即3e⁴-5e³-8=（e+1）（e-2）（3e²-2e+4）=0，
解得，e=-1（舍去）或e=2；
故雙曲線的離心率為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的性質(zhì)及應(yīng)用，化簡(jiǎn)比較困難，屬于中檔題．