Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C₁的極坐標(biāo)方程是ρ²+2ρcosθ=0，圓C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）．
（1）求圓C₁和圓C₂的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)圓C₁和圓C₂的一個(gè)交點(diǎn)，且垂直于公共弦，求直線l的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)即可得出．
（2）由（1）可得公共弦所在的直線方程為：y=x．可得直線l的斜率為-1．利用點(diǎn)斜式可得直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）圓C₁的極坐標(biāo)方程是ρ²+2ρcosθ=0，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²+2x=0，
圓C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），消去參數(shù)可得：x²+（y+1）²=1，即：x²+y²+2y=0，
相減可得：x=y，代入x²+y²+2x=0，可得x²+x=0，解得x=0，-1．
∴圓C₁和圓C₂的交點(diǎn)為（0，0），（-1，-1）．
分別化為極坐標(biāo)：（0，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$）．
（2）由（1）可得公共弦所在的直線方程為：y=x．
∴直線l的斜率為-1．
直線l經(jīng)過(guò)交點(diǎn)（0，0）時(shí)，直線l的方程為：y=-x，可得極坐標(biāo)：θ=$\frac{3π}{4}$（ρ∈R）．
直線l經(jīng)過(guò)交點(diǎn)（-1，-1）時(shí)，直線l的方程為：y+1=-（x+1），
即x+y+2=0，可得極坐標(biāo)：ρcosθ+ρsinθ+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)斜式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．