Question

6．在三棱錐S-ABC中，△ABC為正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，又二面角H-AB-C為30°，則$\frac{SA}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出BG⊥SC，AG⊥SC，∠CEG=30°，取K，F(xiàn)分別為AC、BC的中點，從而得到SA=SC=SB，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵三棱錐S-ABC中，△ABC為正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
∴S在平面ABC上的射影N是△ABC的垂心，
B在平面SAC上的射影M為△SAC的垂心，
∴BG⊥SC，AG⊥SC，
∵二面角H-AB-C為30°，
∴∠CEG=30°，
又∵△ABC為正三角形，取K，F(xiàn)分別為AC、BC的中點，
又SK⊥AC，SF⊥BC，∴SA=SC=SB，
∴$\frac{SA}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線段比值的求法，解決的關(guān)鍵是對于二面角的求作，以及垂心的運用，得到線段的比值，屬于中檔題．