Question

13．某單位組織職工開展構(gòu)建綠色家園活動，在今年3月份參加義務(wù)植樹活動的職工中，隨機抽取M名職工為樣本，得到這些職工植樹的株數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如圖：
（1）求出表中M，p及圖中a的值；
（2）單位決定對參加植樹的職工進行表彰，對植樹株數(shù)在[25，30）區(qū)間的職工發(fā)放價值800元的獎品，對植樹株數(shù)在[20，25）區(qū)間的職工發(fā)放價值600元的獎品，對植樹株數(shù)在[15，20）區(qū)間的職工發(fā)放價值400元的獎品，對植樹株數(shù)在[10，15）區(qū)間的職工發(fā)放價值200元的獎品，在所取樣本中，任意取出2人，并設(shè)X為此二人所獲得獎品價值之差的絕對值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	5	0.25
[15，20）	12	n
[20，25）	m	p
[25，30）	1	0.05
合計	M	1

Answer 1

分析 （1）讀頻率分布直方圖得出各自對應(yīng)的值．
（2）求出隨機變量X的所有可能取值和各自的概率從而得出分布列．

解答 解：（1）由題可知$\frac{5}{M}=0.25$，$\frac{12}{M}=n$，$\frac{m}{M}=p$，
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
則[15，20）組的頻率與組距之比a為0.12．…（5分）
（2）所取出兩所獲品價值之差的絕對值可能為0元、200元、400元、600元，則
$P（x=0）=\frac{{C}_{5}^{2}+{C}_{12}^{2}+{C}_{2}^{2}}{{C}_{20}^{2}}=\frac{10+66+1}{190}=\frac{77}{190}$，
P（x=200）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{20}^{2}}=\frac{86}{190}$，
P（x=400）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}=\frac{22}{190}$，
P（x=600）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{20}^{2}}=\frac{5}{190}$…（9分）
所以X的分布列為：

X	0	200	400	600
P	$\frac{77}{190}$	$\frac{86}{190}$	$\frac{22}{190}$	$\frac{5}{190}$

EX=$0×\frac{77}{190}+200×\frac{86}{190}+400×\frac{22}{190}+600×\frac{5}{190}$=$\frac{2900}{19}$…（12分）

點評 本題考查的是頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬中檔題，高考�？碱}型．